BF3 Limited Edition ΚΕΥ - mini (Μαθηματικός) διαγωνισμός

[dunkel_Stern]

Δεν λες πάλι καλά που ο hydra δεν είναι μαθηματική διάνοια?

μετά από 1 ώρα θα βλέπαμε το κλειδί στις πωλήσεις

[papatsonis]

ΛΥΣΗ 1η ("Knock Out")

Ο [MENTION=9665]z3et[/MENTION] υλοποίησε «τόσο απλά» σαν πραγματικός Μηχανικός μια υπολογιστική μέθοδο για τον εξαντλητικό υπολογισμό όλων των δυνατών μηκών των ΑΔ,ΒΔ, σε σημείο που διαβάζοντάς τον κώδικά του να προβληματίζομαι για τις γνώσεις μου στην τριγωνομετρία (Και ήταν σωστός ). Ανήγαγε όλες τις γωνίες και τα μήκη που χρειαζόταν με τη βοήθεια τριγωνομετρίας σε σχέση με τα ακέραια μήκη των ΒΔ(y) και ΑΔ(z), τα τοποθέτησε σε ένα διπλό βρόχο και.. :magic:

Από το σχήμα έχουμε :

Ο Κώδικας που υλοποίησε φαίνεται πιο κάτω

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
using namespace std;

int main () {
    double pi=3.1415926535897932327950;
    for (int z=1;z<=2011;++z) {
        for (int y=1;;++y) {
            double x = sqrt(420.0*420+y*y-2*420*y*cos(pi-pi/6));
            if (x>z+420) break;
            double sB1=420.0*sin(pi-pi/6)/x;
            double cB1=sqrt(1-sB1*sB1);
            double sG2=sin(pi-pi/6)*cB1+cos(pi-pi/6)*sB1;
            double cG2=sqrt(1-sG2*sG2);
            double sB2=sin(pi/3)*cB1-cos(pi/3)*sB1;
            double cB2=sqrt(1-sB2*sB2);
            double sA1=sB2*y/z;
            double cA1=sqrt(1-sA1*sA1);
            double sk=sA1*cB2+cA1*sB2;
            [COLOR="Blue"]double ck=sqrt(1-sk*sk);[/COLOR]
            double xx=sqrt(z*z+y*y-2.0*z*y*ck);
            if (fabs(xx-x)>10e-9) continue;
            double sG1=sin(pi/3)*cG2-cos(pi/3)*sG2;
            double cG1=sqrt(1-sG1*sG1);
            double sA2=sin(pi/3)*cA1-cos(pi/3)*sA1;
            double cA2=sqrt(1-sA2*sA2);
            double sm=sA2*cG1+cA2*sG1;
            [COLOR="Blue"]double cm=-sqrt(1-sm*sm);[/COLOR]
            xx=sqrt(z*z+420*420-2.0*z*420*cm);
            if (fabs(xx-x)>10e-9) continue;
            printf("%lf\n",x);
            printf("%d %d\n",y,z);
            system("PAUSE");
        }
    }
}

Ο οποίος υπολογίζει σωστά ΟΛΕΣ* τις πιθανές λύσεις από τις οποίες ξεχωρίζει η ζητούμενη βέβαια.

Από την οποία προκύπτει R=1220,0514..

* Με μια παραδοχή..

Εκτελώντας τον κώδικά του, περίμενα 25 λύσεις, και όχι 9 που έβγαλε, η εξήγηση είναι οι 2 τύποι που φαίνονται σε μπλε στον κώδικα είναι σωστοί με την παραδοχή ότι η γωνία μ είναι αμβλεία και η γωνία κ οξεία. Δεν ξέρω αν το έκανε σκόπιμα δοκιμάζοντας και τους 3 συνδυασμούς(οξεία-αμβλεία, αμβλεία-οξεία, αμβλεία-αμβλεία) ή παρασύρθηκε από το σχήμα, όμως αυτό δε μειώνει στο ελάχιστο την λύση του(θα "έπαιζε" με τα πρόσημα και θα έβγαζε και τις υπόλοιπες 16 αν δεν την έβρισκε με τον 1ο συνδυασμό). Υπόσχομαι βέβαια την επόμενη φορά το σχήμα να είναι λίγο πιο παραπλανητικό

[papatsonis]

ΛΥΣΗ 2η «Τριγωνάκια» (©Spilios)

Εδώ θα παρουσιάσω ένα λίγο πιο «κλασσικό μονοπάτι».

Το γεωμετρικό «τρικ» που έπρεπε να «δει» κάποιος, ήταν να πονηρευτεί κάπως με την ΒΔΓ γωνία που είναι 150μοίρες (90 + 60 ). Κατασκευάζοντας λοιπόν το ισόπλευρο ΔΓΕ, αν παρατηρήσουμε προσεκτικά το σχήμα, προκύπτει ότι τα τρίγωνα ΒΕΓ και ΑΔΓ είναι ίσα, οπότε έχουμε ότι ΒΕ=ΑΔ και βέβαια ΔΕ=ΔΓ. Όμως το τρίγωνο ΒΔΕ είναι ορθογώνιο στην ΒΔΕ γωνία!! , το οποίο με βάση τις 2 πιο πάνω ισότητες μετασχηματίζεται σε .

Δηλαδή τελικά, τα μήκη των τμημάτων (ΑΔ,ΒΔ,ΓΔ) αποτελούν πλευρές ορθογωνίου τριγώνου και είναι και ακέραια (δεδομένο 2), οπότε ψάχνουμε ουσιαστικά για τις «Πυθαγόρειες Τριάδες» που η μία κάθετη είναι 420.

Θέτοντας για ευκολία , από το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε : . Από την τελευταία σχέση φαίνεται ότι πρέπει να αναλύσουμε το σε γινόμενο ακεραίων, έστω γ-α=i : ,

απ'όπου για την περίπτωσή μας προκύπτει .Όμως αναπτύσσοντας σε πρώτους παράγοντες έχουμε , οπότε κάπου εδώ ξεκινάνε οι πράξεις... για i άρτιο (που να αποτελεί γινόμενο ενός η περισσοτέρων από τους πρώτους παράγοντες του 88200), π.χ. για i=2, γ=44101, α=44099, κλπ κλπ. Αν συνεχίσουμε με το χέρι μετά από απλούς μεν, ΠΟΛΛΟΥΣ δε υπολογισμούς, θα καταλήξουμε στο τέλος με 40 λύσεις, από τις οποίες θα ξεχωρίσει ένα "γ", το 1789.. και αντίστοιχα α=1739. Τότε από το νόμο των συνημιτόνων έχουμε . Τέλος προκύπτει εύκολα από το σχήμα ότι .

Ο αντίστοιχος κώδικας σε C για να υπολογίζουμε όλες τις τριάδες για δεδομένη κάθετη, φαίνεται εδώ :

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>

int main(void){

double a=0,b=0,c,r,x;
double pi = 3.1415926535897932327950;
int i;

do{
system("cls");
printf("Dwse ti mia ka8eti pleyra (akeraios): ");
scanf("%lf",&;
}while((int)b != b || b<3);

system("cls");
printf("Bre8ikan oi parakatw Pythagoreies Triades\n");
printf("A^2  +  B^2  =  C^2\n\n");

for(i=1;i<b-1;i++){
a = (b*b -i*i)/(2*i);
if((int)a==a){
c = (b*b +i*i)/(2*i);

x = sqrt(b*b +a*a -2*a*b*cos(5*pi/6));
r = x/sqrt(3);
  if(a<{
    printf("a = %d b = %d c = %d   (Radius = %.3lf)\n",(int)a,(int)b,(int)c,r);
  }
  else{
    printf("a = %d b = %d c = %d   (Radius = %.3lf)\n",(int)b,(int)a,(int)c,r);
  }
}
}

system("pause");
return 0;
}

με τα ακόλουθα αποτελέσματα για κάθετη 420 :

Εδώ φαίνεται και -διαδραστικά- η κατασκευή που είχα πετύχει πριν πολλά χρόνια σε εξώφυλλο βιβλίου και αποτέλεσε την "έμπνευση" του παραπάνω προβλήματος, isn't it beautiful ?

[NoDsl]

Να κάνουμε και ένα δημοψήφισμα τώρα για το αν η λύση είναι 1220;

[papatsonis]

2η λύση "up"

[ngt]

Κανουμε προθερμανση για τον χριστουγεννιατικο διαγωνισμου του The lab ??

[deninho]

Κανουμε προθερμανση για τον χριστουγεννιατικο διαγωνισμου του The lab ??

Ω, ναι! και επειδή είμαστε καλοί σας δίνουμε 2 λίστες με πιθανά θέματα για να προετοιμαστείτε:

List of unsolved problems in physics - Wikipedia, the free encyclopedia

List of unsolved problems in mathematics - Wikipedia, the free encyclopedia

[NooDle]

το κεφάλι μου...

[Periklis_pap]

Ω, ναι! και επειδή είμαστε καλοί σας δίνουμε 2 λίστες με πιθανά θέματα για να προετοιμαστείτε:

List of unsolved problems in physics - Wikipedia, the free encyclopedia

List of unsolved problems in mathematics - Wikipedia, the free encyclopedia

Τι κάψιμο έχει πέσει σε αυτά τα προβλήματα

[qbiefox]

Ω, ναι! και επειδή είμαστε καλοί σας δίνουμε 2 λίστες με πιθανά θέματα για να προετοιμαστείτε:

List of unsolved problems in physics - Wikipedia, the free encyclopedia

List of unsolved problems in mathematics - Wikipedia, the free encyclopedia

Ξέχασες και το μπαλαντέρ μας :

List of NP-complete problems - Wikipedia, the free encyclopedia

[papajim]

Ξέχασες και το μπαλαντέρ μας :

List of NP-complete problems - Wikipedia, the free encyclopedia

^^ Είχα ένα προαίσθημα ότι θα ποστάρεις κάτι τέτοιο...